Mencari Eigenvalue
Nilai eigenvalue dari suatu matriks bujursangkar merupakan polynomial karakteristik dari matriks tersebut; jika λ adalah eigenvalue dari A maka akan ekuivalen dengan persamaan linier (A – λI) v = 0 (dimana I adalah matriks identitas) yang memiliki pemecahan non-zero v (suatu eigenvector), sehingga akan ekuivalen dengan determinan.
det (A – λI) = 0
Fungsi p(λ) = det (A – λI) adalah sebuah polynomial dalam λ karena determinan dihitung dengan sum of product. Semua eigenvalue dari suatu matriks A dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan pA(λ) = 0. Jika A adalah matriks ukuran n x n, maka pA memiliki derajat n dan A akan memiliki paling banyak n buah eigenvalue.
Mencari Eigenvector
Jika eigenvalue λ diketahui, eigenvector dapat dicari dengan memecahkan:
(A – λI) v = 0
Dalam beberapa kasus dapat dijumpai suatu matriks tanpa eigenvalue, misalnya:
dimana karakteristik bilangan polynomialnya adalah λ2 + 1 sehingga eigenvalue adalah bilangan kompleks i, -i. Eigenvector yang berasosiasi juga tidak riil.
Jika diberikan matriks:
maka polynomial karakteristiknya dapat dicari sebagai berikut:
ini adalah persamaan kuadrat dengan akar-akarnya adalah λ = 2 dan λ= 3.
Adapun eigenvector yang didapat ada dua buah. Eigenvector pertama dicari dengan mensubtitusikan λ = 3 ke dalam persamaan. Misalnya Y0 adalah eigenvector yang berasosiasi dengan eigenvalue λ= 3. Set Y0 dengan nilai:
Kemudian subtitusikan Y0 dengan v pada persamaan:
( A – λI) v = 0
sehingga diperoleh:
(2 – 3)X0 + (-Y0) = 0
0 + (3 – 3)Y0 = 0
dapat disederhanakan menjadi:
-X0 -Y0 = 0 atau Y0 = -X0
sehingga eigenvector untuk eigenvalue λ = 3 adalah:
Hubungan antara eigenvalue dan eigenvector dari suatu matriks digambarkan oleh persamaan :
C x vi = λi x vi
dimana v adalah eigenvector dari matriks M dan λ adalah eigenvalue. Terdapat n buah eigenvector dan eigenvalue dalam sebuah n x n matriks.