Mencari Eigenvalue dan Eigenvector

Mencari Eigenvalue

Nilai eigenvalue dari suatu matriks bujursangkar merupakan polynomial karakteristik dari matriks tersebut; jika λ adalah eigenvalue dari A maka akan ekuivalen dengan persamaan linier    (A – λI) v = 0 (dimana I adalah matriks identitas) yang memiliki pemecahan non-zero v (suatu eigenvector), sehingga akan ekuivalen dengan determinan.

 det (A – λI) = 0 

Fungsi p(λ) = det (A – λI) adalah sebuah polynomial dalam λ karena determinan dihitung dengan sum of product. Semua eigenvalue dari suatu matriks A dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan pA(λ) = 0. Jika A adalah matriks ukuran n x n, maka pA memiliki derajat n dan A akan memiliki paling banyak n buah eigenvalue.

Mencari Eigenvector

Jika eigenvalue λ diketahui, eigenvector dapat dicari dengan memecahkan:

 (A – λI) v = 0 

Dalam beberapa kasus dapat dijumpai suatu matriks tanpa eigenvalue, misalnya:

 

dimana karakteristik bilangan polynomialnya adalah λ2 + 1 sehingga eigenvalue adalah bilangan kompleks i, -i. Eigenvector yang berasosiasi juga tidak riil. Continue reading

Eigenface

Teori Eigenface

Pengenalan eigenface berasal dari prefiks bahasa Jerrnan “eigen”, yang berarti “sendiri/individual”. Metode eigenface dianggap sebagai teknologi pengenalan wajah otomatis pertama yang pernah diciptakan. Teori ini dikembangkan oleh Turk dan Petland.

Teori ini dikembangkan dengan membagi sebuah citra wajah menjadi data set fitur karakteristik yang disebut eigenface. Fitur karakteristik ini merupakan komponen utama (principal component) dari training set awal dari citra wajah. Penelitian yang dilakukan oleh Carey dan Diamond menunjukkan bahwa fitur wajah sebuah individu dan hubungan langsung antar fitur tersebut tidak dapat menyamai kemampuan manusia dalam memperhatikan dan mengenal wajah.

Eigenface adalah sekumpulan standardize face ingredient yang diambil dari analisis statistik dari banyak gambar wajah (Layman dalam Al Fatta, Hanif, 2009).

Untuk menghasilkan eigenface, sekumpulan citra digital dari wajah manusia diambil pada kondisi pencahayaan yang sama kemudian dinormalisasikan dan diproses pada resolusi yang sama (misal m x n), kemudian citra tadi diperlakukan sebagai vektor dimensi m x n dimana komponennya diambil dari nilai piksel citra.

Eigenvalue dan Eigenvector

Transformasi ruangan seperti translasi, rotasi, refleksi, stretchting dan kompresi, atau kombinasi dari transformasi ini, dapat divisualisasikan dengan efek yang dihasilkan pada vector. Vektor dapat divisualisasikan sebagai panah yang menunjuk 1 (satu) titik ke titik yang lain.

  1. Eigenvector dari suatu transformasi adalah vektor vektor yang tidak mengalami perubahan atau hanya dikalikan dengan scale factor setelah transformasi.
  2. Eigenvalue dari suatu eigenvector adalah scale factor dimana eigenvector dikalikan.

 

Operasi Cropping

Cropping

Cropping adalah proses pemotongan citra pada koordinat tertentu pada area citra. Untuk memotong bagian dari citra digunakan dua koordinat, yaitu koordinat awal yang merupakan awal koordinat bagi citra hasil pemotongan dan koordinat akhir yang merupakan titik koordinat akhir dari citra hasil pemotongan. Sehingga akan membentuk bangun segi empat yang mana tiap-tiap pixel yang ada pada area koordinat tertentu akan disimpan dalam citra yang baru.

Proses Pemotongan Citra

Citra asli                                         Hasil Cropping

 

Dari gambar tersebut diatas dijelaskan bahwa terjadi proses pemotongan citra. Pada awalnya ukuran pixel dari citra asli adalah 5×5 pixel, setelah dilakukan proses pemotongan pada koordinat awal (1,1) dan koordinat akhir (3,3) atau dengan lebar 3 pixel dan tinggi 3 pixel akan terbentuk citra baru dengan ukuran 3×3 pixel. Citra baru ini berisi nilai pixel dari koordinat (1,1) sampai koordinat (3,3).

Grayscale

Nilai Minimum dan Maksium

Citra skala keabuan mempunyai nilai minimum (biasanya=0) dan nilai maksimum. Banyaknya kemungkinan nilai minimum dan maksimum bergantung pada jumlah bit yang digunakan (umumnya menggunakan 8 bit). Contohnya untuk skala keabuan 4 bit, maka jumlah kemungkinan nilainya adalah 24 = 16, dan nilai maksimumnya adalah 24-1 = 15, sedangkan untuk skala keabuan 8 bit, maka jumlah kemungkinan nilainya adalah 28 = 256, dan nilai maksimumnya adalah    28 – 1 = 255.

Array Grayscales

Secara digital suatu grayscale image dapat direpresentasikan dalam bentuk array dua dimensi. Tiap elemen dalam array menunjukkan intensitas (greylevel) dari image pada posisi koordinat yang bersesuaian. Apabila suatu citra direpresentasikan dalam 8 bit maka berarti pada citra terdapat 28 atau 256 level grayscale, (biasanya bernilai 0 – 255), dimana 0 menunjukkan level intensitas paling gelap dan 255 menunjukkan intensitas paling terang. Tiap elemen pada array diatas disebut sebagai picture elemen atau sering dikenal sebagai pixel. Dengan melakukan perubahan pada intensitas pada masing-masing pixel maka representasi citra secara keseluruhan akan berubah. Citra yang dinyatakan dengan matrik M x N mempunyai intensitas tertentu pada pixel tertentu. Posisi picture elemen (i,j) dan koordinat (x,y) berbeda.

Jumlah pixel dimulai dari sudut kiri atas sedangkan koordinat x dan y berada pada sudut kiri bawah.

Format citra ini disebut skala keabuan karena pada umumnya warna yang dipakai adalah antara hitam sebagai warna minimal dan warna putih sebagai warna maksimal sehingga warna antaranya adalah abu-abu.

Konversi Citra Berwana Menjadi Citra Keabuan

Persamaan yang digunakan untuk mengkonversi citra berwarna menjadi citra skala keabuan adalah sebagai berikut (Basuki, A : 2005) :

 Gray = ( R + G + B ) / 3   

Konversi informasi suatu citra warna ke skala keabuan dapat juga dilakukan dengan cara member bobot pada setiap elemen warna (Achmad: 2005), sehingga persamaan diatas dimodifikasi menjadi :

 Gray =wRR + wGG + wBB

 dengan wR, wG, dan wB masing-masing adalah bobot untuk elemen warna merah, hijau dan biru. NTSC (National Television System Committee) mendefinisikan bobot untuk konversi citra warna ke skala keabuan adalah sebagai berikut :

        wR = 0,299                                 wG = 0,587                                           wB = 0,114

Untuk citra berwarna nilai dari suatu pixel misal adalah X, maka untuk mendapat nilai Red, Green, Blue dapat menggunakan rumus :

Blue = X / 216   

Green = (X – Blue * 216) / 28

Red = X – Blue * 216 – Green * 28

Principal Component Analysis (PCA)/Proyeksi Eigen

Sejarah PCA

PCA adalah teknik statistik yang sudah digunakan secara luas baik dalam hal pengenalan wajah maupun pengenalan pola dari sebuah gambar. Metode Principal Component Analysis (PCA) dibuat pertama kali oleh para ahli statistik dan ditemukan oleh Karl Pearson pada tahun l90l yang memakainya pada bidang biologi.  Kemudian tidak ada perkembangan baru pada teknik ini, dan. perkembangannya baru mulai pesat pada akhir tahun l930 dan awal 1940. Setelah  itu perkembangannya berkurang sebentar sampai komputer telah berhasil didesain sehingga dapat mengaplikasikan teknik ini pada masalah-masalah yang masuk akal. Pada tahun 1947 teori ini muncul lagi dan cukup independen sebagai teori probabilitas yang ditemukan oleh Karhunen, dan kemudian dikembangkan oleh Loeve pada tahun l963, sehingga teori ini juga dinamakan Karhunen-Loeve transform pada bidang ilmu telekomunikasi.

Teknik PCA

PCA adalah sebuah transformasi linier yang biasa digunakan pada kompresi data. PCA adalah sebuah teknik statistika yang berguna pada bidang pengenalan, klasifikasi dan kompresi data citra. PCA juga merupakan teknik yang umum digunakan untuk menarik fitur-fitur dari data pada sebuah skala berdimensi tinggi. Dengan cara mentransformasikan citra ke dalam eigenfaces secara linier, proyeksikan citra ke dalam bentuk skala  berdimensi n, yang menampakkan properti dari sampel yang paling jelas sepanjang koordinat. PCA memproyeksikan citra ke dalam subspace, dan menghitung variasi dari citra tersebut. Dengan kata lain, PCA adalah transformasi linear untuk menentukan sistem koordinat yang baru dari dataset. Teknik PCA dapat mengurangi dimensi dari dataset tanpa tidak menghilangkan informasi penting dari dataset.

Teori Pengenalan Wajah (Face Recognition)

Langkah-langkah dalam proses pembuatan sistem pengenalan wajah berbeda satu dengan yang lain. Hal ini disebabkan karena adanya faktor-faktor seperti ukuran database atau training set dari citra wajah, jenis input yang digunakan (citra foto atau video), derau (noise) pada citra dan lain-lain.

Proses Pengenalan Wajah

Pada dasarnya proses dalam pengenalan wajah terbagi menjadi beberapa bagian seperti pada blok diagram dibawah ini:

Setiap bagian dalam diagram di atas dapat dilakukan melalui metode yang berbeda-beda. Sebagai contoh, untuk mendeteksi wajah, kita dapat menggunakan metode berbasis fitur (feature-based methods) untuk mendeteksi fitur pada wajah (mata, hidung, mulut), atau dapat juga menggunakan deteksi warna kulit. Continue reading

Pendekatan Pengenalan Pola

Aplikasi pengenalan pola dapat dibuat dengan beberapa pendekatan. Ada pendekatan yang menggunakan basis statistikal untuk menghasilkan pola. Pendekatan lainnya menggunakan struktur dari pola yang menyediakan informasi fundamental untuk pengenalan pola. Pendekatan lain lagi adalah dengan membangun dan melatih suatu arsitektur yang secara akurat mengasosiasikan input pola tertentu dengan respon yang diharapkan.

Pendekatan Pengenalan Pola Statistikal

Pengenalan pola stastistikal memiliki asumsi suatu basis statistik untuk algoritma klasifikasi. Sekelompok karakteristik pengukuran yang menunujukkan ciri diekstraksi dari data input dan digunakan untuk menentukan setiap vektor fitur ke dalam suatu kelas. Ciri (feature) diasumsikan dihasilkan secara natural, sehingga model yang bersangkutan merupakan kelas-kelas probabilitas atau fungsi kepadatan probabilitas (Probability Density Function) yang telah dikondisikan.

  1. Pola dipilah berdasarkan model statistik dari ciri.
  2. Model statistik didefinisikan sebagai sebuah fungsi kerapatan ruang bersyarat kelas.

Pr ( x | ci)   dengan i = 1, 2, 3, … ,N

Pendekatan Pengenalan Pola Sintaktik

Suatu pendekatan terhadap suatu pola citra dilakukan dengan menganalisis struktur pola dari citra

  1. Pola dipilah berdasarkan keserupaan ukuran struktural.
  2. “Pengetahuan” direpresentasikan secara formal grammar atau deskripsi relasional yang menghasilkan deskripsi hierarki dari pola kompleks yang tersusun dari pola bagian yang lebih sederhana.

 Pendekatan Pengenalan Pola Neural

Pendekatan yang ketiga yaitu pengenalan pola neural, metode ini merupakan gabungan dari kedua cara sebelumnya yaitu secara statistik dan sintaktik, itu artinya pendekatan dengan cara ini akan menyimpan semua fakta dari objek. Sehingga semakin sering sistem dilatih maka semakin cerdas pula sistem yang dihasilkan. Pendekatan ini merupakan bagian dari jaringan saraf tiruan untuk mengidentifikasi pola.

  1. Pemilahan dilakukan berdasarkan tanggapan suatu jaringan pengolah sinyal (neuron) terhadap stimulus masukan (pola).
  2. “Pengetahuan” disimpan dalam sambungan antarneuron dan pembobot sinaptik.